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解：由$a^2-3a+1=0，$得$a+\frac 1a=3$

$(1)a^2+\frac 1{a^2}=(a+\frac 1a)^2-2=7$

$(2)(a-\frac 1a)^2=(a+\frac 1a)^2-4=5$

∴$a-\frac 1a=± \sqrt 5$

$(3)a^4+\frac 1{a^4}=(a^2+\frac 1{a^2})^2-2=47$

解：$(1)$∵$a+\frac 1a=-5$

∴$\frac {3a^2+5a+3}a=3a+5+\frac 3a=3(a+\frac 1a)+5=-15+5=-10$

$(2)$∵$x+\frac 1{x+1}=9$

∴$x+1≠0，$即$x≠-1$

∴$x+1+\frac 1{x+1}=10$

∵$\frac {x^2+5x+5}{x+1}=\frac {(x+1)^2+3(x+1)+1}{x+1}=x+1+\frac 1{x+1}+3=10+3=13$

∴$\frac {x+1}{x^2+5x+5}=\frac 1{13}$