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$证明：连接FG，$

$∵ E、F、G分别是AB、CD、AC的中点$

$∴ EG是△ABC的中位线，FG是△ACD的中位线$

$∴ EG=\frac 1 2BC，FG=\frac 1 2AD$

$∵ AD=BC$

$∴ EG=FG，即△EFG为等腰三角形$

$∵ H是EF的中点$

$∴ GH⊥EF$

$解：∵ 正方形OABC的边长为1$

$∴ OC=OA=AB=BC=1，∠OCB=90°，$

$∠COB=45°，OC//AB$

$在Rt△OBC中，∵ OC=BC=1$

$∴ OB={\sqrt {{OC}^2+{BC}^2}}={\sqrt {2}}$

$∵ OD=OC=1$

$∴ BD=\sqrt {2}-1，$

$∠OCD=∠ODC=\frac {180°-45°}2=67.5°$

$∴ ∠BDE=∠ODC=67.5°$

$∵ OC//AB$

$∴ ∠BED=∠OCD=67.5°$

$∴ ∠BED=∠BDE$

$∴ BD=BE=\sqrt {2}-1，AE=1-(\sqrt {2}-1)=2-\sqrt {2}$

$∴ E(1，2-\sqrt {2})$