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$解：设周长为定值C，矩形一边长为x，则邻边长为(\frac {C}2-x)$

$S=x(\frac C{2}-x)=-x^2+\frac {C}2x=-(x-\frac {C}4)^2+\frac {C^2}{16}$

$∴当x=\frac {C}4时，S取最大值\frac {C^2}{16}$

$\frac {C}2-x=\frac {C}2-\frac {C}4=\frac {C}4$

即矩形的邻边相等，此时为正方形

∴在所有周长相等的矩形中，正方形面积最大

$解：连接OE，设扇形ODF 的半径为r$

$∵点E为圆的切点$

$∴∠OEB=90°$

$∴∠OEB=∠ACB$

$∵∠B为公共角$

$∴△OEB∽△ACB$

$∴\frac {OE}{AC}=\frac {OB}{AB}$

$∵AC=6\ \mathrm {cm}，BC=8\ \mathrm {cm}$

$∴AB=10\ \mathrm {cm}$

$∴OB=\frac 53r，AO=10-\frac 53r$

$∵∠AOF=∠ACB，∠A为公共角$

$∴△AOF∽△ACB$

$∴\frac {AO}{AC}=\frac {OF}{BC}，\frac {10-\frac 53r}6=\frac {r}8$

$∴r=\frac {120}{29}\ \mathrm {cm}$