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$ 证明：连接​DE​$
$​ ​假设​BD​和​CE​互相平分$
$​ ​则四边形​EBCD​是平行四边形$
$ ∴​BE//CD​$
$ ∵在​△ABC​中，点​D​，​E​分别在边​AC​，​AB​上$
$ ∴​AC​不可能平行于​AB​$
故假设不成立，原命题正确
$​ ​即​BD​和​CE​不可能互相平分$

$ 证明：设​GH​与​BD​相交于点​O​，连接​BG​，​DH​，如图所示$
$ ∵四边形​ABCD​是平行四边形$
$ ∴​AB=CD​，​AD=BC​，​AB//CD​$
$ ∴​∠ABE=∠CDF​$
$ ∵​AE⊥BD​，​CF⊥BD​，∴​∠AEB=∠CFD=90°​$
$​ ​在​△ABE​和​△CDF{中}​$
$​\begin {cases}{ ∠ABE=∠CDF}\\{ ∠AEB=∠CFD}\\{AB=CD}\end {cases}​$
$ ∴​△ABE≌△CDF(\mathrm {AAS})​，∴​BE=DF​$
$ ∵​G​，​H​分别为​AD​，​BC​的中点，∴​DG=BH​$
$ 又∵​DG//BH​$
$ ∴四边形​BHDG ​是平行四边形$
$ ∴​OG=OH​，​OB=OD​$
$ ∴​OB-BE=OD-DF​$
$ ∴​OE=OF​，即​EF ​和​GH​互相平分$
​$(1)①$​证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形
∴​$OA=OC，$​​$CB=OD $​
∵​$DE=\frac {1}{2}OD，$​​$BF=\frac {1}{2}OB$​
∴​$DE=BF，$​∴​$OE=OF$​
∴四边形​$AFCE$​为平行四边形​$ $​
②解：在​$▱ABCD$​中，​$AD//BC，$​∴​$∠DAC=∠BCA$​
∵​$CA$​平分​$∠BCD，$​∴​$∠BCA=∠DCA$​
∴​$∠DCA=∠DAC，$​∴​$AD=CD$​
∵​$OA=OC，$​∴​$OE⊥AC$​
∴​$OE$​是​$AC$​的垂直平分线，∴​$AE=CE$​
∵​$∠AEC=60°，$​∴​$△ACE$​是等边三角形
∴​$AE=CE=AC=2OA=10$​
∴四边形​$AFCE$​的周长是​$ 2(AE+CE)=2×(10+10)=40$​
​$(2)$​解：四边形​$AFCE$​是平行四边形，理由：
∵​$DE=\frac {1}{3}OD，$​​$BF=\frac {1}{3}OB，$​​$OD=OB$​
∴​$DE=BF，$​∴​$OB+BF=OD+DE，$​即​$OF=OE$​
∵​$OA=OC，$​∴四边形​$AFCE$​为平行四边形
若​$DE=\frac 1{n}OD，$​​$BF=\frac {1}{n}OB$​
则四边形​$AFCE$​为平行四边形
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