第37页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

①

证明：$(1)$选择$①$

∵$∠B=∠AED$，∴$BC//DE$

∵$AB//CD$，∴四边形$BCDE$为平行四边形

解：$(2)$由$(1)$可知，四边形$BCDE$为平行四边形

∴$DE=BC=10$

∵$AD⊥AB$，∴$∠A=90°$，∴$AE= \sqrt {DE²-AD²}=\sqrt {10²-8²}=6$

证明：$(1)$∵在$Rt△ABC$中，$∠BAC=30°$，∴$AB=2BC$

又∵$△ABE$是等边三角形，$EF⊥AB$

∴$AB=2AF$，$AB=AE$，∴$AF=BC$

在$Rt△AFE$和$Rt△BCA$中

$\begin {cases}{AF=BC} \\{AE=BA}\end {cases}$

∴$Rt△AFE≌Rt△BCA(\mathrm {HL})$，∴$AC=EF$

$(2)$∵$△ACD$是等边三角形，∴$∠DAC=60°$，$AC=AD$

∴$∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°$

又∵$EF⊥AB$，∴$∠EFA=90°$，∴$EF//AD$

∵$AC=EF$，$AC=AD$，∴$EF=AD$

∴四边形$ADFE$是平行四边形

$(3)$由$(2)$知四边形$ADFE$是平行四边形

∴$AE//FD$

设$AC$与$DF $相交于点$G$

∵$∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°$

∴$∠EAC=∠AGD=90°$

∴$AC⊥DF$

$(1)$证明：∵$O$是$▱ABCD$对角线$BD$的中点

∴$AD//BC$，$BO=DO$，∴$∠ADB=∠CBD$

在$△BOE$与$△DOF $中

$\begin {cases}{∠EBO=∠FDO}\\{BO=DO}\\{∠BOE=∠DOF}\end {cases}$

∴$△BOE≌△DOF(\mathrm {ASA})$，∴$DF=BE$

∵$DF//BE$，∴四边形$BEDF $是平行四边形

$(2)①$解：如图，过点$D$作$DN⊥EC$于点$N$

∵$DE=DC= \sqrt {10}$，$DN⊥EC$，$CE=2$

∴$EN=CN=1$，∴$DN=\sqrt {DC²-CN²}=3$

∵$∠DBC=45°$，$DN⊥BC$

∴$∠DBC=∠BDN=45°$

∴$DN=BN=3$，∴$BE=BN-EN=3-1=2$

②证明：∵$DN⊥EC$，$CG⊥DE$

∴$∠CEG+∠ECG=90°$，$∠DEN+∠EDN=90°$

∴$∠EDN=∠ECG$

∵$DE=DC$，$DN⊥EC$

∴$∠EDN=∠CDN$，∴$∠ECG=∠CDN$

∵$∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH$，

$∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN$

∴$∠CDB=∠DHC$，∴$CD=CH$