第35页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB=CD$，$AD=BC$，$AD//BC$

∴$∠AFB=∠CBF$，$∠DEC=∠BCE $

∵$BF $平分$∠ABC$，$CE$平分$∠BCD$

∴$∠ABF=∠FBC=∠AFB$，$∠DCE=∠BCE=∠DEC$

∴$AB=AF$，$DC=DE$，∴$AF=DE$

$(2)$解：∵$▱ABCD$的周长为$46$

∴$AD+AB=23$

∵$EF=1$，∴$2AB-AD=EF=1$

∴$AB=8$，$AD=15$，∴$BC=15$

解：$AC=DE$

理由：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB=CD$，$∠B=∠ADC$，$AD//BC$

∴$∠DAE=∠AEB$

∵$∠B=∠AEB$

∴$AE=AB$，$∠B=∠AEB=∠DAE=∠ADC$

∴$AE=CD$

又∵$∠ADC=∠DAE$，$AD=DA$

∴$△ADC≌DAE(\mathrm {SAS})$

∴$AC=DE$

$(1)$证明：在$▱ABCD$中，$AD//BC$，$∠ABC=∠ADC$，$AD=BC$

∴$∠DAC=∠BCA$

∵$BE$，$DG $分别平分$∠ABC$，$∠ADC$

∴$∠ADG=∠CBE$

∵$∠DGE=∠DAC+∠ADG$，$∠BEG=∠BCA+∠CBE$

∴$∠DGE=∠BEG$，∴$BE//DG$

在$△ADG $和$△CBE$中

$\begin {cases}{∠DAG=∠BCE}\\{AD=CB}\\{∠ADG=∠CBE}\end {cases}$

∴$△ADG≌△CBE(\mathrm {ASA})$

∴$BE=DG$

$(2)$解：过点$E$作$EH⊥BC$于点$H$，如图

∵$BE$平分$∠ABC$，$EF⊥AB$， ∴$EH=EF=6$

∵$▱ABCD$的周长为$56$

∴$AB+BC=28$

∴$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB · EF+\frac {1}{2}BC · EH$

$=\frac {1}{2}EF(AB+BC)=\frac {1}{2}×6×28=84$