$(1)$证明：∵$△ABM$与$△ACM$关于直线$AF $成轴对称
∴$△ABM≌△ACM$，∴$AB=AC$
又∵$△ABE$与$△DCE$关于点$E$成中心对称
∴$△ABE≌△DCE$
∴$AB=CD$，∴$AC=CD$
$(2)$解：$∠F=∠MCD$，理由：
由$(1)$得$∠BAE=∠CAE=∠CDE$，$∠CMA=∠BMA$
∵$∠BAC=2∠MPC$，$∠BMA=∠PMF$
∴设$∠MPC=α$，则$∠BAE=∠CAE=∠CDE=α$
$ $设$∠BMA=β$，则$∠PMF=∠CMA=β$
∴$∠F=∠CPM-∠PMF=α-β$，
$ ∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β$
∴$∠F=∠MCD$
