$解：(1) 当 m=0 时， 抛物线即为 y=x^2-x+3.$
$在 y=x^2-x+3 中， 令 x=2， 得 y=2^2-2+3=5，$
$所以点 (2，4) 不在该抛物线上.$
$(2) 因为 y=x^2-(m+1) x+2\ \mathrm {m}+3=(x-.\frac {m+1}{2})^2-\frac {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}-6\ \mathrm {m}-11}{4}，$
$所以该抛物线的顶点坐标为 (\frac {m+1}{2}，-\frac {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}-6\ \mathrm {m}-11}{4}).$
$因为 -\frac {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}-6\ \mathrm {m}-11}{4}=-\frac 14(m-3)^2+5$
$所以当 x=3时， -\frac {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}-6m-11}4取最大值5.$
$此时 \frac {m+1}{2}=2.$
$故当该抛物线的顶点移动到最高处时， 该抛物线的顶点坐标为 (2，5).$
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