$证明:(1)∵四边形ABCD是菱形$ $∴ND//AM$ $∴∠NDE=∠MAE, ∠DNE=∠AME$ $∵E是AD的中点，∴DE=AE$ $在△NDE和△MAE 中$ $\begin{cases}{ ∠NDE=∠MAE }\ \\ {∠DNE=∠AME\ } \\{ DE=AE} \end{cases}$ $∴△NDE≌△MAE(AAS),∴ND=MA$ $∴DE=AE$ $∴四边形AMDN是平行四边形$ $(2)当AM=1时，四边形AMDN是矩形,理由如下:$ $∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=2$ $要使得平行四边形AMDN是矩形，则DM⊥AB$ $即∠DMA=90°$ $∵∠DAB=60°,∠ADM=30°$ $∴AM=\frac{1}{2}AD=1$ $解:(1)PG⊥PC,证明如下:$ $延长 GP交DC于点H$ $∵P是线段DF的中点，∴FP=DP$ $由题意可知DC//GF,∴∠GFP=∠HDP$ $∵∠GPF=∠HPD,∴△GFP≌△HDP$ $∴GP=HP,GF=HD=GB$ $∵四边形ABCD是菱形,∴CD=CB$ $∴CG=CH,∴△CHG是等腰三角形,∴PG⊥PC(三线合一)$ $(2)由(1)得△CHG是等腰三角形，PG⊥PC$ $∵PG=PC,∴∠PGC= ∠PCG=45°$ $∴∠DCB=2∠PCG=90°$ $∵DC//GF,∴∠CGF=∠DCB=90°$ $∴∠PGF=∠PGC+∠CGF=135°$ $(3)PG=\sqrt {3}PC$
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