解：$(1)$平行$.$
理由：因为$∠2=∠3$，
所以$CE//NF$，
因为$CE//NF$，
所以$∠C=∠FND$，
又因为$∠C=∠1$，
所以$∠FND=∠1$，
所以$AB//CD.$
$(2)$因为$∠D=40°$，$AB//CD$，$∠EMF=80°$，
所以$∠BED=40°$，$∠2=∠3=80°$，
所以$∠BEC=80°+40°=120°$，
所以$∠AEP=∠BEC=120°.$
