解：$(1)$因为$AC=3BC$，$AB+BC=AC$，
所以$AB=2BC.$
所以$ BC=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}×20=10(\mathrm {cm}).$
所以$DB=AC=3BC=3×10=30(\mathrm {cm}).$
所以$DC=DB+BC=30+10=40(\mathrm {cm})$
$(2)$由$(1)$，得$BC=10\ \mathrm {cm}$，$DC=40\ \mathrm {cm}.$
因为$M$是线段$AB$的中点，
所以$MB=\frac {1}{2}AB=10\ \mathrm {cm}.$
所以$MC=MB+BC=10+10=20(\mathrm {cm}).$
所以$MC=\frac {1}{2}DC.$
所以$M$是线段$DC$的中点$.$
