解：$(2)$根据题意，得$x+3x=10$，
解得$x=2.5$，
此时$BQ=3x=7.5$
$(3)$存在$.$
根据题意，分三种情况讨论：
$①$当点$Q $从点$B$出发未到达点$A$，即$0＜x＜\frac {10}{3}$时，有$x=2(10-3x)$，
解得$x=\frac {20}{7}.$
$②$当点$Q $到达点$A$后，向点$B$运动，即$\frac {10}{3}＜x＜ \frac {20}{3}$时，有$x=2(3x-10)$，
解得$x=4.$
$③$当点$Q $第一次返回到点$B$后，调头向点$A$运动，即$\frac {20}{3}＜x＜10$时，有$x=2(30-3x)$，
解得$x=\frac {60}{7}.$
综上所述，当$x=\frac {20}{7}$或$x=4$或$x=\frac {60}{7}$时，点$Q $恰好落在线段$AP $的中点处$.$
