解：如图$ 1$， ∵$A D \perp B C$，
∴$∠A D B=90°$，
又 ∵$A B=20$，$ A D=12$，
∴$B D=\sqrt {A B^2-A D^2}=16$，
∴$∠A D C=90°$，
又$ A C=13$，$ A D=12$，
∴$C D=5$，
∴$B C=B D+C D=21$，
∴$\triangle A B C $的面积$ =\frac {1}{2} ×21 ×12=126 $；
如图$ 2$，$ B C=B D-C D=11$，
∴$\triangle A B C $的面积$ =\frac {1}{2} ×11 ×12=66 .$
