$解：( 1 ) ∵A( 0，6 ) ，B( 12，0 ) ，$
$∴OA=6，OB=12，$
$∵∠AEO=30°，∴AE=12，∴OE=6\sqrt{3}，$
$∴点E的坐标( 6\sqrt{3}，0 )$
$(2)如图1，连接DA、DO、DB，连接DM、DN、DF，$
$∵\odot D与三角形AOE的三边相切，切点分别为N、M、F$
$，∴DM⊥OB、DN⊥AB、DF⊥OA，$
$则S_{△AOE}=S_{△DAO}+S_{△DOE}+S_{△DAB}$
$∴\frac {1}{2}OE\cdot OA=\frac {1}{2}OA·DF+\frac {1}{2}OE·DM+\frac {1}{2}AE·DN$
$∵OA=6、OE=6\sqrt{3}、AE=12、DM=DN=DF=r，$
$∴\frac {1}{2}×6\sqrt{3}×6=\frac {1}{2}×6×r+\frac {1}{2}×6\sqrt{3}×r+\frac {1}{2}×12×r$
$解得：r=\frac {6\sqrt{3}×6}{6+6\sqrt{3}+12}=3\sqrt{3}-3$
$( 3 ) ①如图2，当\odot P与AE相切时，$
$∵PA是\odot P的半径，∴点A为切点，$
$∵OA=6，∠AEO=30°，$
$∴∠PAO=30°，OP=2\sqrt{3}，∴QP=4-2\sqrt{3}，$
$∴t=( 4-2\sqrt{3} ) 秒.$
$②如图3，当点P与O重合时，\odot P与AC相切，∴t=4秒.$
$③如图4，当PA=PB时，\odot P与BC相切，设OP=x，$
$则PB=PA=12-x，$
$在Rt△OAP 中，x^2＋6^2=( 12-x ) ^2，解得：x=\frac {9}{2}，$
$∴t=4+\frac {9}{2}=\frac {17}{2}(秒)，$
$∴t=4-2\sqrt{3}或4或\frac {17}{2}秒.$
