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$解：连接OC，过O作OG//CD交BC与点G.$

$则由▱ABCD可得AB//CD//OG，OD//CG，$

$可得▱ODCG，$

$∴CG=OD=2$

$设圆的半径为r，CF=x，$

$则AO=OC=r，AD=r+2，BC=2x$

$由平行四边形ABCD可得，AD=BC，AB=CD，$

$∴2x=r+2，r=2x-2$

$在Rt△OFC中，OF^2+FC^2=OC^2，$

$即8^2+x^2=(2x-2)^2$

$解得x=6或x=-\frac {10}3(舍去)$

$∴FG=6-2=4$

$∴OG=\sqrt {OF^2+FG^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt {5}$

$∴AB=OG=4\sqrt {5}$

$证明：(1) 连接AE，$

$∵AB=AC∴△ABC为等腰三角形$

$∵AB为\odot O的直径$

$∴AE⊥BC∴BE=CE$

$(2) ∵△ABC为等腰三角形且AE⊥BC$

$∴AE平分∠BAC∴∠BAC=54°$

$∴∠BAE=\frac {1}{2}∠BAC=27°$

$∵∠AEB=90°$

$∴∠ABE=180°-90°-27°=63°$

$∵BF为\odot O的切线$

$∴∠OBF=90°$

$∴∠CBF=∠OBF-∠ABE=90°-63°=27°$

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