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解：连接$BE$

∵$DE$是$BC$边上的垂直平分线

∴$CE=BE$

∵$AB+AE+BE=14\ \mathrm {cm}$，$AC=AE+CE=8\ \mathrm {cm}$

∴$AB=14-8=6\ \mathrm {cm}$

证明：如图，连接$BC$

∵$CD⊥AB$于$D$，$D$是$AB$的中点，即$CD$垂直平分$AB$

∴$AC=BC($中垂线的性质$)$

∵$E$为$AC$中点，$BE⊥AC$

∴$BC=AB($中垂线的性质$)$

∴$AC=AB$

证明：连接$CD$

∵$D E$垂直平分$BC$

∴$DC=DB$

在$△ADC$中，$A D+D C>A C$

∴$A D+B D>A C$

∴$A B>A C$

解：AB垂直平分CD

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证明：$(1)$∵点$P $在边$AB$的垂直平分线上

∴$PA=PB$

∵点$P $在边$BC$的垂直平分线上

∴$PB=PC$

∴$PA=PB=PC$

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