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证明： ∵​$BD$​、​$CE$​分别是边​$ A C $​和​$ A B $​上的高
∴​$∠BEC=∠CDB=90° $​
在​$ Rt△BEC$​和​$ Rt△CDB$​中
​$\begin {cases}{B D=C E}\\{B C=C B}\end {cases}$​
∴​$Rt △ BEC ≌ Rt△ CDB(\mathrm {HL}) $​
∴​$BE=CD$​
解​$ ∶ B E⊥A C$​，理由如下：
∵​$AD ⊥ BC$​
∴​$∠BDH=∠ADC=90°$​
在​$Rt△ BDH$​和​$Rt△ADC$​中
​$\begin {cases}{B H=A C}\\{D H=D C}\end {cases}$​
∴​$Rt△BDH≌Rt△ADC(\mathrm {HL})$​
∴​$∠CAD=∠HBD$​
∵​$∠ADB=90°$​
∴​$∠HBD+∠BHD=90°$​
∵​$∠BHD=∠AHE$​
∴​$∠AHE+∠CAD=90°$​
∴​$∠AEH=180°-90°=90°$​
∴​$BE⊥ AC$​
解：根据三角形全等的判定方法​$HL $​可知：
​$①$​当​$P $​运动到​$AP=BC$​时，​$∠C=∠QAP=90°$​
在​$Rt△ABC$​与​$Rt△QPA$​中
​$\begin {cases}{AP=BC}\\{PQ=AB}\end {cases}$​
∴​$Rt△ABC≌Rt△QPA(\mathrm {HL})$​
即​$AP=BC=5\ \mathrm {cm}$​
​$②$​当​$P $​运动到与​$C$​点重合时，​$AP=AC$​
在​$Rt△ABC$​与​$Rt△QPA$​中
​$\begin {cases}{AP=AC}\\{PQ=AB}\end {cases}$​
∴​$Rt△QAP≌Rt△BCA(\mathrm {HL})$​
即​$AP=AC=10\ \mathrm {cm}$​
∴当点​$P $​与点​$C$​重合时，​$△ABC$​才能和​$△APQ{全等}$​
综上所述，当点​$P{位于}AC$​的中点处或当点​$P $​与点​$C$​重合时，
​$△ABC$​才能和​$△APQ{全等}$​
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