解：$(1)$如图，∵$OB$的方向是北偏西$40°$，$OA$的方$ $向是北偏东$15°$
∴$∠BOF=40°$，$∠AOF=15°$
∴$∠AOB=∠BOF+∠AOF=40°+15°=55°$
∵$∠AOC=∠AOB$，∴$∠AOC=55°$
∴$∠FOC=∠AOF+∠AOC=15°+55°=70°$
∴$OC$的方向是北偏东$70°$
$(2)$如图，∵$OB$的方向是北偏西$40°$，$OD$是$OB$的$ $反向延长线
∴$∠DOM=∠BOF=40°$
∴$OD$的方向是南偏东$40°$
$(3)$如图，∵$OD$是$OB$的反向延长线，∴$∠BOD=180°$
∵$OE$是$∠BOD$的平分线，∴$∠BOE=90°$
∴$∠FOE=∠BOE-∠BOF=90°-40°=50°$
∴$OE$的方向是北偏东$50°$
