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$解:(1)如图(1)，$

$分别作点P关于AC的对称点G，\ $

$关于BC的对称点 H，$

$连接GH分别交AC、BC于点D、E,$

$连接PD、PE、CG、CH,$

$则△PDE的周长的最小值为GH的长.\ $

$∵点P、G关于AC对称，$

$∴∠GCA=∠PCA,CG=CP.$

$∵点P、H关于BC对称，$

$∴∠BCH=∠BCP,CH=CP,$

$∴CG=CP=CH=10.\ $

$∵∠ACB=30°，$

$∴∠HCG=2(∠PCA+∠PCB)=2∠ACB=60°，$

$∴△CGH是等边三角形，\ $

$∴GH=CG=10，$

$∴△PDE的周长的最小值为10.$

$(2)最短路程为\frac{46}{5}.$

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