解：$(1)$设$a=1+2+3+···+2021+2022+2023$
则$a=2023+2022+2021+···+3+2+1$
∴$2a=(1+2023)×2023=2024×2023$
∴$a=2047276$
∴$1+2+3+···+2021+2022+2023=2047276$
$(2)$设$a=1+3+5+···+2019+2021+2023$
则$a=2023+2021+2019+···+5+3+1$
∴$2a=(1+2023)×\frac {2023+1}2=2024×1012$
∴$a=1024144$
$(3)$设$a=2+4+6+···+2020+2022+2024$
则$a=2024+2022+2020+···+6+4+2$
∴$2a=(2+2024)×\frac {2024}{2}$
∴$a=1025156$
$(4)$设$a=1+4+7+···+2017+2020+2023$
则$a=2023+2020+2017+···+7+4+1$
∴$2a=(1+2023)×(\frac {2023-1}3+1)$
∴$a=683100$
