解：$ (1) $由图可知，闭合开关$S$，电路为$R_{1} $的简单电路，电流表测电路中的电流，其示数为$ 1.2\ \mathrm {A}$，则电源电压$U=U_{1}=I_{1}R_{1}=1.2\ \mathrm {A}×10\ \mathrm {Ω}=12\ \mathrm {V}.$
$(2) $若在电路中接入一个电阻$R_{2}$，使得接入前后电流表的示数变化$0.4\ \mathrm {A}$，则连接方式有两种：若将$R_{2} $串联在电路中，则电路中电流减小$ 0.4\ \mathrm {A}$，此时电路中电流$ I_{串}=I_{1}-∆I=1.2\ \mathrm {A}-0.4\ \mathrm {A}=0.8\ \mathrm {A}$，由欧姆定律可得，电路的总电阻$R_{串}=\frac {U}{I_{串}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{0.8\ \mathrm {A}}=15 \ \mathrm {Ω}$，则$ R_{2}$的阻值$R_{2}=R_{串}-R_{1}=15 \ \mathrm {Ω}-10\ \mathrm {Ω}=5\ \mathrm {Ω}$；若将$R_{2}$并联在电路中，则电路中电流增大$0.4\ \mathrm {A}$，由并联电路的电流规律可知，通过$ R_{2} $的电流$ I_{2}=0.4\ \mathrm {A}$，则$R_{2}$的阻值$R_{2}=\frac {U}{I_{2}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{0.4\ \mathrm {A}}=30\ \mathrm {Ω}.$
