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82°

$证明：∵△ABC≌△DEF$

$∴AB= DE，∠B=∠E，BC=EF$

$∵AM，DN分别是△ABC和△DEF 的中线$

$∴BM=\frac{1}{2}BC，EN=\frac{1}{2}EF$

$∴BM= EN$

$在△ABM和△DEN中$

$\begin{cases}{AB=DE } \\{∠B=∠E}\\ {BM=EN} \end{cases}$

$∴△ABM≌△DEN(\mathrm {SAS})$

$∴AM= DN$

$证明： (1)∵BE，CF 是△ABC的高$

$∴∠AEB=90°，∠AFC=90°$

$∴∠ABP+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°$

$∴∠ABP=∠ACQ$

$在△ABP 与△QCA中$

$\begin{cases}{BP=CA }\\{∠ABP=∠QCA} \\ {AB=QC} \end{cases}$

$∴△ABP≌△QCA(\mathrm {SAS})$

$(2)AP⊥AQ$

$由△ABP≌△QCA得∠BAP= ∠Q$

$∵∠Q+∠BAQ=90°$

$∴∠BAP+∠BAQ =90°，即∠PAQ = 90°$

$∴PA⊥AQ$