$证明:(1)∵四边形ABCO是平行四边形，$
$∴AB//OC，∴∠BAO=∠AOF，$
$由旋转可知，∠BAO=∠OAF，AO=AF，$
$∴∠OAF=∠AOF，即AF=OF.$
$∵AO=AF，∴AF=OF=AO，$
$∴△AOF是等边三角形.\ $
$由题可知AB=CO=AD=4，$
$∵AD经过点O，点A、D在反比例函数$
$y=\frac{k}{x}的图像上，由反比例函数的$
$中心对称性，可得OA=OD=2，$
$过点A作x轴的垂线，垂足为H，$
$∵△AOF是等边三角形，$
$∴OH=1，AH=\sqrt{3}，∴A(1，\sqrt {3} )，$
$∴k=\sqrt {3} .$
$解:(2)a= \frac{k}{x_{1}} ，b= \frac{k}{x_{2}} ，$
$∴m²= \frac{\frac{k}{x_{1}}+ \ \frac{k}{x_{2}}}{2k}= \frac{x_{1}+x_{2}}{2x_{1}x_{2}} ，$
$∴m² -n² = \frac{x_{1}+x_{2}}{2x_{1}x_{2}} -\frac{2}{x_{1}+x_{2}} = \frac{(x_{1}-x_{2})²}{2x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})} \gt 0，$
$∴m\gt n\gt 0.$
$∵当x\gt 0时，y随x增大而减小，\ $
$\ ∴y_{1}\lt y_{2}.$
