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$证明:(1)∵四边形ABCD是菱形，$

$∴ND// AM，$

$∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME.$

$∵E是AD的中点，∴DE=AE.$

$在△NDE和△MAE中，$

$\begin{cases}{∠NDE=∠MAE,\ }\ \\ {\ ∠DNE=∠AME,}\\{DE=AE,} \end{cases}\ $

$∴△NDE≌△MAE(AAS)，$

$∴ND=MA，\ $

$∴四边形AMDN是平行四边形.$

$解:(2)当AM=1时，四边形AMDN是矩形.$

$理由如下:$

$∵四边形ABCD是菱形，$

$∴AD=AB=2.$

$∵平行四边形AMDN是矩形，$

$∴DM⊥AB，即∠DMA=90°.$

$∵∠DAB=60°，$

$∴∠ADM=30°，$

$∴AM=\frac{1}{2}AD=1.$

$解:(1)线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC.$

$证明如下:如图①，延长 GP交DC于点H，$

$∵P是线段DF的中点，∴FP=DP.$

$由题意可知DC//GF，∴∠GFP=∠HDP.$

$∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP，$

$∴GP=HP，GF=HD=GB.$

$∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，$

$∴CG=CH，∴△CHG是等腰三角形，$

$∴PG⊥PC(三线合一).\ $

$(2)由(1)得△CHG是等腰三角形，PG⊥PC，$

$∵PG=PC，∴∠PGC= ∠PCG=45°，$

$∴∠DCB=2∠PGC=90°.$

$∵DC//GF，∴∠CGF=∠DCB=90°，$

$∴∠PGF=∠PGC+∠CGF=135°.$

$(3)PG=\sqrt{3}PC.$

$2或2 -\sqrt{2} $