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第52页

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证明: ∵ 四边形$ A B C D $是菱形,

$∠A D C=120°， $

∴$A D / / B C， C D=C B， $

∴$∠B C D=180°-∠A D C=60°， $

∴$\triangle B C D \text { 是等边三角形, } $

∴$∠B D C=60°， $

∴$∠F B C=∠B C D+∠B D C=120° $

∴$∠E D C=∠F B C，$

在$ \triangle E D C $和$ \triangle F B C $中,

$\begin {cases}{C D=C B }\\{∠E D C=∠F B C， }\\{D E=B F}\end {cases}$

∴$\triangle E D C \cong \triangle F B C(S A S)， $

∴$C E=C F， ∠D C E=∠B C F， $

∵$∠E C F=∠B C E+∠B C F$

∴$\triangle E F C $是等边三角形.

证明：$ (1)$连接$BD，$$AF，$$ED$

因为四边形$ABCD$是菱形.

所以$AC⊥BD$

因为$EF⊥AC$

所以$BD// EF$

因为$AB// CF$

所以四边形$BEFD$为平行四边形

所以$BE=DF$

因为点$E$是$AB$的中点

所以$AE=BE$

所以$AE=DF$

因为$AE//DF$

所以四边形$AFDE$是平行四边形

所以$AM=DM$

$(2)$因为$DF=AE$

所以$AE=2$

所以$AB=2AE=4$

所以菱形的周长为$16$

证明$： (1)$因为四边形$ABCD$是菱形

所以$AD//BC，$$AD=BC$

因为$BE=CF$

所以$EF=CE+CF=CE+BE=BC $

所以$EF=AD$

因为$AD//BC$

所以四边形$AEFD$是平行四边形

因为$AE⊥BC$

所以$∠AEF=90°$

所以四边形$AEFD$是矩形

$(2)$因为四边形$ABCD$是菱形

所以$AB=BC=AD=5，$$ OA=OC$

所以$BE=BC-CE=3$

因为$AE⊥BC$

所以$AE=\sqrt {AB²-BE²}=4$

所以$AC=\sqrt {AE²+ CE²}=\sqrt {20}=2\sqrt {5}$

因为$OA=OC$

所以$OE= OA=OC=\frac {1}{2}AC=\sqrt {5}$

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