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解：设降价$x$元

由题意得，利润$y=(13.5-x-2.5)(500+100x)=-100(x-3)^2+6400$

当$x=3$时，$y$取得最大值，最大值为$6400$

此时销售价为$13.5-3=10.5($元)

∴每件小商品销售价是$10.5$元时，每天销售这种小商品的利润最大，最大利润为$6400$元

解：$(1)$设运动时间为$ts$

由题意得$BP=AB-AP=(6-t)\mathrm {cm}，$$BQ=2t\mathrm {cm}$

∴$S_{△PBQ}=\frac 12(6-t)×2t=8$

解得$t_1=2，$$t_2=4$

∴运动开始后$2s$或$4s，$$△PBQ$的面积等于$8\ \mathrm {cm^2}$

$(2)$由题意得$S=6×12-\frac 12×(6-t)×2t=t^2-6t+72$

自变量$t$的取值范围为$0≤t≤6$

$(3)S=t^2-6t+72=(t-3)^2+63$

当$t=3$时，$S$最小，最小为$63\ \mathrm {cm^2}$