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解：$(1) $设焚烧$ 1\ \mathrm {t} $垃圾，$A $焚烧炉发电$ x $度，$B $焚烧炉发电$ y $度

由题意，得$ \{\begin{array}{l}x-y=50\\100(x+y)=55000\end{array}，$解得$ \{\begin{array}{l}x=300\\y=250\end{array} $

∴焚烧$ 1\ \mathrm {t} $垃圾，$A $焚烧炉发电$ 300 $度，$B $焚烧炉发电$ 250 $度

$(2)$由题意，得$ 300 ×a \% ×100+250 ×2a \% × 100 \geqslant 55000 ×(5+a) \%$

整理，得$ 800a\geqslant 550(5+a)，$解得：$a \geqslant 11$

∴$a $的最小值为$ 11 $

解：(1)∵30+8×35=310(元)，310<370

∴m<35

由题意，得30+8m+12(35-m)=370，解得m=20

∴该车间的日废水处理量为20吨

(2)设该厂一天产生的工业废水量为x吨

当0＜x≤20时，30+8x≤10x，解得15≤x≤20

当x>20时，30+8×20+12(x-20)≤10x，解得20＜x≤25

综上所述，x的取值范围为15≤x≤25

∴故该厂一天产生的工业废水量的范围为15吨~25吨