解：$(1) \{\begin{array}{l}2x-y=3k-2①\\2x+y=1-k②\end{array}$
①+②得$ 4x=2k-1，$解得$ x=\frac {2k-1}{4} $
②-①得$ 2y=3-4k，$ 解得$y=\frac {3-4k}{2}$
∴该二元一次方程组的解为$ \{\begin{array}{l}x=\frac {2k-1}{4}\\y=\frac {3-4k}{2}\end{array}$
$(2) $∵该方程组的解$ x，$$ y $满足$ x-y>5$
∴$\frac {2k-1}{4}-\frac {3-4k}{2}>5，$ 解得$ k>\frac {27}{10}$
∴$k $的取值范围为$ k>\frac {27}{10}$
$(3) $由$ (1)$得$ \{\begin{array}{l}x=\frac {2k-1}{4}\\y=\frac {3-4k}{2}\end{array}，$则$ 4x+2=2k+1，$$ 2y-1=2-4k$
∵$(4x+2)^{2y-1}=1，$ 即$ (2k+1)^{2-4k}=1$
∴分类讨论如下:
①当$ 2-4k=0，$即$ k=\frac {1}{2} $时，$(2k+1)^{2-4k}=2^0=1，$ 符合题意;
②当$ 2k+1=1，$ 即$ k=0 $时，$(2k+1)^{2-4k}=1^2=1，$ 符合题意;
③当$ 2k+1=-1，$ 即$ k=-1 $时，$(2k+1)^{2-4k}=(-1)^6=1，$ 符合题意
综上所述，$ k $的值为$ \frac {1}{2} $或$ 0 $或$ -1 $
$(4) $由$ (1) $得$ \{\begin{array}{l}x=\frac {2k-1}{4}\\y=\frac {3-4k}{2}\end{array} $
∴$m=2x-3y=\frac {2k-1}{2}-\frac {3(3-4k)}{2}=7k-5$
∵$k \leqslant 1$
∴$ 7k-5 \leqslant 2$
∴$m \leqslant 2$
∵$m $为正整数
∴$m $的值为$ 1 $或$ 2 $
