第59页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

$\frac {\sqrt{5}-1}{2}$

解：如图，设$∠A=α，$$BC=1$

∵$sin α=\frac 13，$即$\frac {BC}{AB}=\frac 13$

∴$AB=3$

∴$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=2\sqrt 2$

∴$cos α=\frac {AC}{AB}=\frac {2\sqrt 2}3，$$tan α=\frac {BC}{AC}=\frac 1{2\sqrt 2}=\frac {\sqrt 2}4$

解：如图，等腰三角形$ABC，$过点$A$作$AD⊥BC，$垂足为点$D$

则$BD=DC=\frac 12BC$

①当底边长为$6$时，腰长为$(16-6)÷2=5$

$ AB=5，$$BD=\frac 12BC=3$

∴$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$

$ sin B=\frac {AD}{AB}=\frac 45$

②当腰长为$6$时，底边长为$16-6×2=4$

∴$AB=6，$$BD=\frac 12BC=2$

$ AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4\sqrt 2$

$ sin B=\frac {AD}{AB}=\frac {4\sqrt 2}{6}=\frac {2\sqrt 2}3$

综上，底角的正弦值为$\frac 45$或$\frac {2\sqrt 2}3$

解：$(1)$在$Rt△CDE$中，∵$∠CDE=90°，$$tan ∠DCE=\frac {2}{3} $

∴$\frac {DE}{CD} =\frac {2}{3}$

∵$CD=6$

∴$DE=4$

∴$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2 \sqrt{13}$

$ (2) $如图，取$CD$的中点$F，$连接$EF$

∵$E$是$AB$的中点

∴$EF//AD$

∴$∠ADE=∠DEF$

∵$CD=6，$$F $是$CD$的中点

∴$DF=3$

由勾股定理，得$EF=\sqrt{DF^2+DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$

在$Rt△DEF $中，∵$∠EDF=90°，$$DE=4，$$EF=5$

∴$cos ∠DEF =\frac {DE}{EF}=\frac {4}{5}$

∴$cos ∠ADE=\frac {4}{5}，$即$∠ADE$的余弦值为$ \frac {4}{5}$

$(1)$证明：如图，连接$OE$

∵$OA=OE$

∴$∠OAE=∠OEA$

∴$∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE$

∵$∠CAB=2∠EAB$

∴$∠CAB=∠FOE$

又∵$∠AFE=∠ABC$

∴$∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE$

∵$AB$是$⊙O$的直径

∴$∠ACB=90°$

∴$∠CAB+∠ABC=90°=∠FOE+∠AFE$

∴$∠OEF=90°，$即$OE⊥EF$

∵$OE$是半径

∴$EF $是$⊙O$的切线

$(2)$解：在$Rt△EOF$中，设半径为$r，$即$OE=OB=r，$则$OF=r+1$

∵$sin∠AFE=\frac {4}{5}=\frac {OE}{OF}=\frac {r}{r+1}$

∴$r=4$

∴$AB=2r=8$

在$Rt△ABC$中，$sin∠ABC=\frac {AC}{AB}=sin∠AFE=\frac {4}{5}，$$AB=8$

∴$AC=\frac {4}{5}×8=\frac {32}{5}$

∴$BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=\frac {24}{5}$