解$： (1)$设抛物线${C}_1$的函数表达式为$y= ax²+ bx +c$
由题意得，
$\begin{cases}{0=16a-4b+c}\\{-\dfrac {b}{2a}=-1.5}\\{6=a-b+c} \end{cases}$
解得$a=-1，b=-3，c=4$
所以抛物线${C}_1$的函数表达式为$y= -x²- 3x +4$
$(2)$抛物线${C}_2$的图像如图所示，
设抛物线${C}_2$的函数表达式为$y= dx²+ex+f ，$
则抛物线${C}_2$与$x$轴交点为$(4 ， 0) ，$对称轴所在直线为$x = 1.5， $
且抛物线过点$(1.-6)。$
由题意得,
$\begin{cases}{16d+4e+f=0 }\\{-\dfrac {c}{2d}=1.5}\\{d+e+f=-6} \end{cases}$
所以$d=1，e=-3，f=-4$
抛物线${C}_2$的函数表达式为$y=x²-3x-4$
$(3)$由题意得，$-x²-3x+4=x²-3x-4，$
解得，$x=±2$
所以点$A$横坐标为$-2 ，$点$B$横坐标为$2 $
设点$P$的横坐标为$t ，$则点$P$坐标为$(t，-t² - 3t +4)$
因为$PQ//y$轴,点$P$的横坐标为$t ，$
所以点$Q$的横坐标也为$t$
因为点$Q$在抛物线${C}_2$上,
所以点$Q_{坐标} $为$(t，t²- 3t- 4)$
所以$PQ=(-t²-3t+4)- (t²- 3t-4)=-2t²+ 8$
因为点$P{位于} $点$A$和点$B$之间,
所以t的取值范围为- 2＜t＜2.
所以当t= 0时, PQ取最大值,最大值为8
