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解：$(1) $当秤盘中不放物体时，排开水的体积

$V_{排}=Sh=0.1\ \mathrm {m^2}×8×10^{-2}\ \mathrm {m}=8×10^{-3}\ \mathrm {m^3}，$

浮力秤受到的浮力

$F_{浮}=ρ_{水}V_{排}g=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×8×10^{-3}\ \mathrm {m^3}×10\ \mathrm {N/kg}=80\ \mathrm {N}，$

又因为浮力秤漂浮，所以浮力秤的重力$G=F_浮=80\ \mathrm {N} $

$(2) $圆柱体刚好浸没时，这台浮力秤排开水的体积增大量

$∆V_{排}=S∆h=0.1\ \mathrm {m^2}×(20×10^{-2}\ \mathrm {m}-8×10^{-2}\ \mathrm {m})=0.012\ \mathrm {m^3}，$

增加的浮力

$∆F_{浮}=ρ_{水}V_{排}g=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×0.012\ \mathrm {m^3}×10\ \mathrm {N/kg}=120\ \mathrm {N}，$

又因为浮力秤漂浮，所以增大的浮力等于增大的重力，即$∆G=∆F_浮=120\ \mathrm {N}，$

所以该秤能称出物体的最大质量$∆m=\frac {∆G}{g}=\frac {120\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}}=12\ \mathrm {kg}$

解：$(1)$若瓶子自重不计，图甲中，瓶子漂浮，

根据浮沉条件知$F_{浮}=G_{水}，$即$ρ_{水}gV_{排}=ρ_{水}gV_{水}，$

浸在水中的矿泉水瓶的体积：

$V_{排}=V_{水}=100mL=100\ \mathrm {cm^3}=1×10^{-4}\ \mathrm {m^3}；$

$(2)$步骤②中增加的排开水的体积为：

$ΔV_{排}=SΔh=S(h_1-h_2)=20\ \mathrm {cm^2}×(10\ \mathrm {cm}-6\ \mathrm {cm})=80\ \mathrm {cm^3}=8×10^{-5}\ \mathrm {m^3}，$

②中排开水的体积为：

$V_{排}'=V_{排}+ΔV_{排}=100\ \mathrm {cm^3}+80\ \mathrm {cm^3}=180\ \mathrm {cm^3}=1.8×10^{-4}\ \mathrm {m^3}，$

步骤②中物体漂浮，根据漂浮条件和阿基米德原理得：

水的重力为：

$G_{水}'=F_{浮}'=ρ_{水}gV_{排}'=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×1.8×10^{-4}\ \mathrm {m^3}=1.8N，$

步骤①中原来水的重力为：

$G_{水}=ρ_{水}gV_{水}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×1×10^{-4}\ \mathrm {m^3}=1N，$

故步骤②中灌入瓶中清水的重力为：

$ΔG_{水}=G_{水}'-G_{水}=1.8N-1N=0.8N；$

$(3)$矿泉水瓶在海水中漂浮，根据浮沉条件可知，矿泉水瓶在海水中的浮力为：

$F_{浮}″=G_{水}'=1.8N，$

矿泉水瓶排开海水的体积为：

$V_{排}″=V_{排}+ΔV_{排}'=100\ \mathrm {cm^3}+20\ \mathrm {cm^3}×(10\ \mathrm {cm}-7.5\ \mathrm {cm})=150\ \mathrm {cm^3}=1.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}，$

根据阿基米德原理$F_{浮}=ρ_{液}gV_{排}$可知海水的密度为：

$ρ_{海水}=\frac {F_{浮}″}{gV_{排}″}=\frac {1.8N}{10\ \mathrm {N/kg}×1.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}}=1.2×10^3\ \mathrm {kg/m^3}.$