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$-4$

$6$

解：$(1)$

$\begin{aligned}(x + 4)(x - 3)&=12\\x^{2}-3x + 4x-12&=12\\x^{2}+x-24&=0\end{aligned}$

它的二次项系数为$1，$一次项系数为$1，$常数项为$-24。$

解：$(2)$

$\begin{aligned}(x + 2)^{2}-2x(x - 2)&=4x + 4\\x^{2}+4x + 4-2x^{2}+4x&=4x + 4\\x^{2}+4x + 4-2x^{2}+4x-4x - 4&=0\\-x^{2}+4x&=0\\x^{2}-4x&=0\end{aligned}$

它的二次项系数为$1，$一次项系数为$-4，$常数项为$0。$

解：(1)根据题意，得$m^{2}+1 = 2，$且$m - 1\neq0。$

由$m^{2}+1 = 2，$得$m^{2}=1，$解得$m=\pm1。$

又$m - 1\neq0，$即$m\neq1，$所以$m=-1。$

$ (2)$存在。

有两种情况：

①当满足$m^{2}+1 = 1，$且$(m - 1)+(m - 2)\neq0$时，

由$m^{2}+1 = 1，$得$m^{2}=0，$解得$m = 0。$

此时方程变为$-3x-1 = 0，$

移项得$-3x=1，$解得$x=-\frac{1}{3}。$

②当满足$m - 1 = 0，$且$m - 2\neq0$时，

解得$m = 1。$

此时方程变为$-x-1 = 0，$

移项得$-x=1，$解得$x=-1。$

 解：$\because x_{0}$是方程$ax^{2}+2x + c = 0(a\neq0)$的一个根，

 $\therefore ax_{0}^{2}+2x_{0}+c = 0，$即$ax_{0}^{2}=-2x_{0}-c。$

 $\therefore N=(ax_{0}+1)^{2}=a^{2}x_{0}^{2}+2ax_{0}+1$

 $=a(-2x_{0}-c)+2ax_{0}+1$

 $=-2ax_{0}-ac + 2ax_{0}+1$

 $=1 - ac。$

 $\because M = 1 - ac，$

 $\therefore M = N。$