解:$(1)6x - 1>2(x + m)-3,$
去括号,得$6x - 1>2x + 2m - 3,$
移项,得$6x - 2x>2m - 3 + 1,$
合并同类项,得$4x>2m - 2,$
$ $系数化为$1,$得$x>\frac {m - 1}{2}。$
$ $解不等式$\frac {x - 5}{2}+1<x + 3,$
$ $去分母得$x - 5 + 2<2x + 6,$
$ $移项得$x - 2x<6 + 5 - 2,$
$ $合并同类项得$-x<9,$
$ $系数化为$1$得$x>-9。$
$ $因为$6x - 1>2(x + m)-3$的解集与不等
式$\frac {x - 5}{2}+1<x + 3$的解集相同,
$ $所以$\frac {m - 1}{2}=-9,$
$ $解得$m=-17。$
$ (2)$解不等式$\frac {x - 5}{2}+1<x + 3,$得$x>-9。$
$ $因为$6x - 1>2(x + m)-3$的解都是不等
式$\frac {x - 5}{2}+1<x + 3$的解,
$ $所以$\frac {m - 1}{2}\geq - 9,$
$ $解得$m\geq - 17。$