解：$(1)$因为$2^{5x - 1}＞2^{3x - 1}$且$2＞1，$
所以$5x - 1＞3x - 1，$解得$x＞0.$
$ (2)$因为$(\frac {1}{2})^{kx - 1}＜(\frac {1}{2})^{5x - 2}，$$0＜\frac {1}{2}＜1，$
所以$kx - 1＞5x - 2，$
$ (k - 5)x＞-1.$
因为解集中无正整数解，
所以$k - 5＜0，$即$k＜5，$
所以$x＜\frac {-1}{k - 5}，$
$ $所以$\frac {-1}{k - 5}\leq 1，$
$ -1\geq k - 5，$解得$k\leq 4，$
所以$k$的取值范围为$k\leq 4.$
$ (3)$因为$0＜a＜1，$$a^{x - k}＞a^{5x - 2}，$
所以$x - k＜5x - 2，$解得$x＞\frac {2 - k}{4}.$
$ $因为在$-2\leq x\leq - 1$上总存在$x$的值使得其成立，
所以$\frac {2 - k}{4}＜-1，$解得$k＞6，$
所以$k$的取值范围为$k＞6.$
