第53页 - 经纶学典学霸七年级数学上下册【江苏国标】

解：$(1)$如图，直线$EF $即为所求。

$ (2)$连接$BO，$$B'O，$$B''O。$

因为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$关于直线$MN$对称，

所以$∠BOM = ∠B'OM。$

因为$\triangle A'B'C'$和$\triangle A''B''C''$关于直线$EF $对称，

所以$∠B'OE = ∠B''OE，$

所以$∠BOB'' = ∠BOM + ∠B'OM + ∠B'OE+∠B''OE$

$=2( ∠B'OM+∠B'OE)=2 ∠MOE，$即$∠BOB'' = 2α。$

$CB'$

$C'B'$

解：$ (1)$因为直线$l$是点$B，$$B'$的对称轴，点$C，$

$C'$在$l$上，

所以$CB = CB'，$$C'B = C'B'，$

所以$AC + BC = AC + B'C = AB'，$

$AC' + BC' = AC' + C'B'，$

由两点之间线段最短可知，$AB' ＜ AC' + B'C'，$

所以$AC + CB ＜ AC' + C'B，$

所以作点$B$关于直线$l$的对称点$B'，$连接$AB'$与直

线$l$交于点$C，$点$C$就是饮马的地方，此时所走的

路程就是最短的。

$ (2)$如图所示，分别作点$P $关于$OA，$$OB$的对称

点$C，$$D，$连接$CD$分别交$OA，$$OB$于$E，$$F，$则

路线$PE，$$EF，$$PF $即为所求。

由对称可得$CE = PE，$$DF = PF，$则

$PE + EF + PF = CE + EF + DF，$

根据两点之间线段最短可得路线$PE，$$EF，$$PF $即

为所求。