解：当$0<t<2$时，点$N$在$AB$上运动，
点$M$在$AC$上运动。
如图①，当线段$MN$的垂直平分线经过点$A$时，
$2t=6 - 3t，$
$ $解得$t=\frac {6}{5}，$符合条件。
$ $当$2\leq t<3$时，点$N$在$AC$上运动，
点$M$在$AC$上运动。
如图②，当线段$MN$的垂直平分线经过点$B$时
$6 - 2t = 3t - 6，$
$ $解得$t=\frac {12}{5}，$符合条件。
$ $当$3\leq t<4$时，点$N$在$AC$上运动，
点$M$在$BC$上运动。
如图③，当线段$MN$的垂直平分线经过点$C$时，
$2t - 6 = 12 - 3t，$
$ $解得$t=\frac {18}{5}，$符合条件。
$ $当$4\leq t<6$时，点$N$在$BC$上运动，
点$M$在$BC$上运动，
当$t = 6$时点$M$与点$N$第一次相遇，停止运动。
如图④，当线段$MN$的垂直平分线经过点$A$时，
$12 - 2t = 3t - 12，$
$ $解得$t=\frac {24}{5}，$符合条件。
综上所述，满足条件的$t $的值为$\frac {6}{5}$或$\frac {12}{5}$或$\frac {18}{5}$或$\frac {24}{5}。$
