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${(a+1)}^2=a^2+2a+1$

解：$(1)①$正方形的面积$={(a+1)}^2$或正方形的面积$=a^2+2a+1$

$(2)$如图，把该长方形视为一个边长为$a+b$的正方形时，其面积为${(a+b)}^2.$

同时，该长方形可视为四个长方形的拼图，四个长方形指两个边长分别为$a$和$b$

的正方形，以及两个相同的小长方形$($长和宽分别为$a$和$b).$

此时，其面积为$a^2+b^2+2ab.$

由此，可推导出${(a+b)}^2=a^2+b^2+2ab$

解：先将$△ABC$绕着$B'B$的中点旋转$180°，$再将所得的三角形绕着点$B'$旋转$180°，$即可得到$△A'B'C'；$

先将$△ABC$沿着$B'C$的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着$B'C'$的垂直平分线翻折，即可得到$△A'B'C'．$