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解:​$(1)$​设批发苹果​$x\mathrm {kg},$​梨​$y\mathrm {kg},$​
由题意,得​$x+y=500$​
​$4x+3.5y=1900$​
解得:​$x=300,$​​$y=200$​
答:该水果超市批发苹果​$300\ \mathrm {kg}.$​梨​$200\ \mathrm {kg}.$​
​$(2)$​设批发苹果​$m\mathrm {kg},$​由题意得,
​$(6-4)m+(5-3.5)(400-m)≥675,$​
解得​$m≥150,$​
答:该经营户至少批发苹果​$150\ \mathrm {kg}.$​
​​$x=1$​​
解​​$:(2)$​​解不等式​​$①$​​得​​$:x>m$​​
解不等式​​$②$​​得​​$:x≤2+m$​​
∴原不等式组的解集为​​$m<x≤m+2$​​
解​​$2x-1=x+2$​​得​​$x=3$​​
解​​$3+x=2(x+\frac {1}{2}),$​​解得​​$x=2$​​
∴​​$m<2,m+2≥3$​​
∴​​$1≤m<2$​​