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第150页

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解$：(1)-x^2+14x+10=-(x^2-14x)+10 =-(x^2-14x+49-49)+10 $

$=-(x^2-14x+49)+49+10 =-(x-7)^2+59$

因为$(x-7)^2≥0，$

所以$-(x-7)^2≤0.$

所以$-(x-7)^2+59≤59.$

所以当$-(x-7)^2=0$时，

$-(x-7)^2+59$有最大值，最大值为$59.$

解方程，得$x=7.$

所以$-x^2+14x+10$的最大值为$59，$

此时$x$的值是$7.$

解$：(2)$设其中一段铁丝的长度为$x\mathrm {cm}，$

则另一段铁丝的长度为$(24-x)\mathrm {cm}.$

所以这两段铁丝做成的正方形边长分别为$\frac {x}{4}\mathrm {cm} $和$\frac {24-x}{4}\mathrm {cm}.$

所以这两个正方形的面积之和

$\begin {aligned} S&=(\frac {x}{4})^2+(\frac {24-x}{4})^2 &=\frac {1}{8}(x^2-24x)+36 &=\frac {1}{8}(x-12)^2+18. \end {aligned}$

因为$(x-12)^2≥0，$

所以$\frac {1}{8}(x-12)^2+18≥18.$

所以$S $有最小值，最小值是$18.$

解方程，得$x=12，$则$24-x=12.$

所以这两个正方形面积之和有最小值，

此时两段铁丝长度分别为$12\ \mathrm {cm}，$$12\ \mathrm {cm}，$

面积之和为$18\ \mathrm {cm}^2.$