解：设张阿姨第一次购买荔枝$x\ \mathrm {kg}，$第二次购买荔枝$y\ \mathrm {kg}$
根据题意，得$0＜x＜25$
$(1)$当$0＜x\leqslant 20、$$y\leqslant 40$时，
根据题意，得${{\begin {cases} { {x+y=50}} \\{6x+5y=264}\end {cases}}}$
解得，${{\begin {cases} { {x=14}} \\{y=36}\end {cases}}}$
$(2)$当$0＜x\leqslant 20，$$y＞40$
根据题意，得${{\begin {cases} { {x+y=50}} \\{6x+4y=264}\end {cases}}}$
解得，${{\begin {cases} { {x=32}} \\{y=18}\end {cases}}}($不合题意，舍去)
$(3)$当$20＜x＜25$时，则$25＜y＜30，$
此时张阿姨用去的钱数为$5x+5y=5(x+y)=5×50=250＜264($不合题意，舍去)
答：张阿姨第一次购买荔枝$14$千克，第二次购买荔枝$36$千克$.$
