解：任务$1∶\frac 1{\sqrt 2-1}=\frac {\sqrt 2+1} {(\sqrt 2-1)(\sqrt 2+1)}=\frac {\sqrt 2+1}{2-1}=\sqrt 2+1$
任务$2$：设$MN=x，$则$BC=MB=x，$$AC=\frac 12x$
∴$AB= \sqrt {BC^2+AC^2}= \sqrt {x^2+(\frac 12x)^2}= \sqrt {x^2+\frac {x^2}4}=\frac {\sqrt 5}2x$
证明：由折叠的性质可知，$AD=AB$
∴$CD=AD-AC=AB-AC=\frac {\sqrt 5}2x-\frac 12x=\frac {\sqrt 5-1}2x$
∴$CD∶BC=\frac {\sqrt 5-1}2x∶x=\frac {\sqrt 5-1}2$
∴矩形$BCDE$是黄金矩形
任务$3$：如图，过点$E$做$EH⊥MC$于点$H$
由图可知，$S_{△MCE}=\frac 12ME· BC=\frac 12(MB+BE)· BC$
$=\frac 12(x+\frac {\sqrt 5-1}2x)· x=\frac 12x^2· \frac {\sqrt 5+1}2$
∵$MN=2$
∴$S_{△MCE}=\frac 12×2^2×\frac {\sqrt 5+1}2=\sqrt 5+1$
∵$MC= \sqrt {MB^2+BC^2}=2\sqrt {^2}$
∴$S_{△MCE}=\frac 12×2 \sqrt 2· EH=\sqrt 2EH$
∴$EH=\frac {\sqrt 5+1}{\sqrt 2}=\frac {\sqrt {10}+\sqrt 2}{2}$
∴点$E$到线段$MC$的距离是$\frac {\sqrt {10}+\sqrt 2}2$
