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$证明：(1) ∵ 四边形ABCD是正方形$

$∴ AD=CD，∠ADC=∠DCP=90°$

$∵ DP⊥AQ，$

$∴ ∠DAQ+∠ADP=90°$

$∵ ∠ADC=∠ADP+∠PDC=90°，$

$∴ ∠DAQ=∠PDC$

$在△ADQ和△DCP中，$

${{\begin{cases} { {∠ADQ=∠DCP}} \\{AD=CD} \\ {∠DAQ=∠PDC} \end{cases}}}，$

$∴ △ADQ≌△DCP(\mathrm {ASA})$

$∴ DQ=CP$

$(2) ∵ 四边形ABCD是正方形$

$∴ OC=OD，∠COD=90°，∠OCP=∠ODQ=45°$

$在△OCP和△ODQ中，$

${{\begin{cases} { {OC=OD}} \\{∠OCP=∠ODQ} \\ {CP=DQ} \end{cases}}}，$

$∴ △OCP≌△ODQ(\mathrm {SAS})$

$∴ ∠COP=∠DOQ$

$∴ ∠POQ=∠COD=90°$

$∴ OP⊥OQ$

$证明：(1) ∵ 四边形ABCD是正方形$

$∴ AB=AD，∠BAD=90°$

$∵ BE⊥PA，DF⊥PA$

$∴ ∠BEA=∠DFA=90°，$

$∴ ∠BAE+∠ABE=90°$

$∵ ∠BAD=∠BAE+∠DAF=90°，$

$∴ ∠ABE=∠DAF$

$在△ABE和△ADF中，$

${{\begin{cases} { {∠ABE=∠DAF}} \\{∠BEA=∠DFA} \\ {AB=AD} \end{cases}}}，$

$∴ △ABE≌△ADF(AAS)$

$∴ DF=AE，AF=BE$

$∴ BE=AF=AE+EF=DF+EF$

$(2) EF=DF+BE，证明如下：$

$∵ 四边形ABCD是正方形，$

$∴ AB=AD，∠BAD=90°$

$∴ ∠EAB+∠FAD=90°$

$∵ BE⊥PA，DF⊥PA$

$∴ ∠BEA=∠DFA=90°，$

$∴ ∠EAB+∠EBA=90°$

$∴ ∠EBA=∠FAD$

$在△ABE和△DAF中，$

${{\begin{cases} { {∠EBA=∠FAD}} \\{∠BEA=∠DFA} \\ {AB=AD} \end{cases}}}，$

$∴ △ABE≌△DAF(AAS)$

$∴ BE=AF，AE=DF$

$∴ EF=AE+AF=DF+BE$