$(1)$证明：如图①，连接$CD $
由题意，得$BC=BD$，$∠CBD=180°-2α$
∴$∠BDC=∠BCD$
∵$∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°$
∴$∠BDC=\frac {180°-(180°-2α)}{2}=α$
∴$∠BDC=∠A$，∴$CA=CD$
∵$DE⊥AN$
∴$∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°$
∴$∠1=∠2$，∴$CD=CE$
∴$CA=CE$，∴$C$是$AE$的中点
$(2)$解：$EF=2AC$
证明：如图②，在射线$AM$上取点$H$，连接$BH$，
使得$BH=BA$，取$EF $的中点$G$，连接$DH$，$DG$
∵$BH=BA$
∴$∠BAH=∠BHA=α$
∴$∠ABH=180°-2α=∠CBD$
∴$∠ABC=∠HBD$
∵$BC=BD$
∴$△ABC≌△HBD(\mathrm {SAS})$
∴$AC=DH$，$∠BHD=∠A=α$
∴$∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α$
∵$DF//AN$
∴$∠EFD=∠A=α$，$∠EDF=∠3=90°$
∵$G $是$EF $的中点
∴$GF=GD$，$EF=2GD$
∴$∠GFD=∠GDF=α$
∴$∠HGD=2α$
∴$∠HGD=∠FHD$
∴$DG=DH$
∵$AC=DH$
∴$DG=AC$，∴$EF=2AC$
