$解： (1)因为S_{△ABE}： S_{△ABC}=3：2$
$所以{y}_{E}：{y}_{C}=3：2$
$因为点E坐标为(2，6)，$
$所以点C坐标为(0，4)$
$因为D是OC中点$
$所以点D坐标为(0 ， 2)。$
$设直线DE的表达式为y= kx +b，$
$将D(0 ， 2) ， E(2 ， 6)代入，得$
$\begin{cases}{2k+b=6 }\\{b=2} \end{cases}$
$解得k=2，b=2$
$所以直线DE的表达式为y=2x+2 ，$
$所以点A的坐标为(-1， 0)$
$将A(-1，0)，C(0，4)，E(2，6)代入,得$
$\begin{cases}{a-b+c=0 }\\{c=4}\\{4a+2b+c=6} \end{cases}$
$解得a=-1，b=3，c=4$
$所以该二次函数的表达式为y=-x²+3x+4$
$(2)\ \mathrm {BD}⊥AD ，理由如下:$
$因为点B为二次函数y=-x²+3x+4与x轴的交点$
$所以0= -x²+3x+4$
$解得，x_{1}=-1，x_{2}=4$
$所以点B坐标为(4 ， 0)$
$因为A(-1， 0)， B(4， 0)， D(0 ， 2)$
$所以AB= 5， AD=\sqrt{5}， BD= 2\sqrt{5}$
$因为AB²=AD²+BD²$
$所以BD⊥AD$
$(3)存在,$
$因为B(4，0)，C(0，4)$
$所以直线BC的表达式为y=-x+4$
$因为直线AD的表达式为y=2x+2$
$所以-x+4=2x+2 ，$
$解得x=\frac {2}{3}，$
$点M坐标为(\frac {2}{3}，\frac {10}{3})$
$因为△ANB∽△ABM$
$所以\frac {AN}{AB}=\frac {AB}{AM}$
$所以\frac {AN}{5}=\frac {5}{\frac {5}{3}\sqrt{5}}$
$所以AN= 3\sqrt{5}$
$设N(t ， 2t+2)$
$AN=\sqrt{(t+1)²+ (2t+2)²}= 3\sqrt{5}$
$解得，t_{1} =2，t_{2}= -4$
$因为2t+2\gt 0$
$所以t=2$
$所以点N的坐标为(2 ， 6)$
