解:$(1)$∵$|a|=2$、$|b|=5$,∴$a=±2$、$b=±5$
∴当$a=2$,$b=5$时,$a+b=7$;当$a=-2$,$b=5$时,$a+b=3$;
当$a=2$,$b=-5$时,$a+b=-3$;当$a=-2$,$b=-5$时,$a+b=-7$
$(2)$∵$|a|=2$、$|b|=5$,∴$a=±2$、$b=±5$
又∵$a>b$,∴$b=-5$
当$a=2$,$b=-5$时,$a+b=-3$;当$a=-2$,$b=-5$,$a+b=-7$