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解：$(1)$平行$.$

理由：因为$∠1=∠2$，

所以$AC//BD$，

所以$∠C=∠BDE.$

又因为$∠B=∠C$，

所以$∠B=∠BDE$，

所以$AB//CE.$

$(2)$在$△AEC$中，$∠1=76°$，$∠E=57°$，

所以$∠C=180°-76°-57°=47°.$

又因为$∠B=∠C$，

所以$∠B=47°.$

解：选择小明的方法，证明如下：

因为$AB//PQ$，

所以$∠APQ=∠BAP$，

又因为$∠BAP=∠PMC$，

所以$∠APQ=∠PMC$，

所以$PQ//CD$，

所以$∠CPQ=∠PCD$，

所以$∠APQ+∠CPQ=∠BAP+∠PCD.$

即$∠APC=∠BAP+∠PCD.$

选择小慧的方法，证明如下：

因为$AB//CD$，

所以$∠BAP=∠PMC.$

因为$∠PCD+∠PMC=∠APC$，

所以$∠BAP+∠PCD=∠APC.$

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