解：$(1)$方程$3x=m $的解为$x=\frac m{3}.$
因为$3x=m $是$“$和解方程$”$，
所以$3x=m $的解为$x=3+m.$
所以$\frac m{3}=3+m$，
解得$m=-\frac {9}{2} .$
$(2)$因为方程$-2x=mn+n$的解为$x=n$，
所以$-2n=mn+n$，即$mn=-3n$，
解得$m=-3.$
因为$-2x=mn+n$是$“$和解方程$”$，
所以$-2x=mn+n$的解为$x=mn+n-2=-3n+n-2=-2n-2.$
所以$-2n-2=n$，
解得$n=-\frac 23 .$
