解:$(1)2025-1=2024.$
$(2)$因为$a_{15}-a_{1}=14$,$a_{15}=-18$,
所以$a_{1}=-18-14=-32.$
因为$a_{2025}-a_{1}=2024$,
所以$a_{2025}=(-32)+2024=1992$
$(3)$因为$a_{2025}-a_{1}=2024$,$a_{2025}=-1000$,
所以$a_{1}=-3024.$
所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+···+a_{2025}=(-3024)+(-3023)+ (-3022)+···+(-1000)$
$=[(-3024)+(-1000)]×2025÷2$
$=-4074300$