第145页 - 通城学典课时作业本七年级数学苏科版江苏专用

解：$(1)$因为$∠AOB=180°$，$∠AOD=120°$，

所以$∠BOD=∠AOB-∠AOD=180°-120°=60°.$

因为$OE$平分$∠BOD$，

所以$∠DOE=\frac {1}{2}∠BOD=30°.$

因为$FO⊥OD$，

所以$∠FOD=90°.$

所以$∠EOF=∠FOD-∠DOE=90°-30°=60°.$

$(2)$因为$OE$平分$∠BOD$，

由$(1)$知，$∠DOE=30°$，

所以$∠BOE=∠DOE=30°.$

由$(1)$知，$∠EOF=60°$，

所以$∠BOF=∠EOF-∠BOE=60°-30°=30°.$

所以$∠BOF=∠BOE.$

所以$OB$平分$∠EOF.$

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$\frac {21}{5}$或$\frac {19}{3}$或$8$

解：$(2)$根据题意，得点$P $从$A→C$需要$20÷4=5(\mathrm {s})$，

从$A→C→D$共需要$(20+7)÷4=\frac {27}{4}(\mathrm {s})$；

点$Q $从$B→C$需要$8÷1=8(\mathrm {s})$，

从$B→D$共需要$(8+7)÷1=15(\mathrm {s}).$

分情况讨论：

$①$当$0≤t≤5$时，$PC=(20-4t)\mathrm {cm}$，$CQ=(8-t)\mathrm {cm}.$

由$20-4t=8-t$，得$t=4.$

$②$当$5＜t≤\frac {27}{4}$时，$PC=(4t-20)\mathrm {cm}$，$CQ=(8-t)\mathrm {cm}.$

由$4t-20=8-t$，得$t=\frac {28}{5}.$

$③$当$\frac {27}{4}＜t≤8$时，$PC=DC=7\ \mathrm {cm}$，$CQ=(8-t)\mathrm {cm}.$

由$7=8-t$，解得$t=1($不合题意，舍去).

$④$当$8＜t≤15$时，点$P$，$Q $在点$C$同侧，不符合题意.

综上所述，当$C$恰好为$PQ $的中点时，$t $的值为$4$或$\frac {28}{5}.$