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$解：( 1)\ \mathrm {S}_{阴影部分}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}$

$∵△ABC为等腰三角形，AD平分∠BAC$

$∴AD⊥BC∵∠BAC=120°$

$∴∠BAD=\frac {1}{2}∠BAC=60°，∠B=90°-60°=30°$

$∵AD=6∴AB=2AD=12，BD=6\sqrt{3}$

$∴BC=2BD=12\sqrt{3}$

$∴S_{阴影部分}=\frac {1}{2}×12\sqrt{3}×6-\frac {120\pi ×6^2}{360}=36\sqrt{3}-12\pi$

$( 2 ) 圆锥底面圆周长：\frac {120\pi ×6}{180}=4\pi底面圆半径：\frac {4\pi}{2\pi}=2$

$∴圆锥的高 h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$

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$解：(1)由题意，可得圆锥的母线SA=\sqrt{AO^2+SO^2}=40(\ \mathrm {cm})$

$圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2\pi \cdot OA=20\pi\ \mathrm {cm}$

$\therefore S_{侧}=\dfrac{1}{2}L\cdot SA=400\pi\ \mathrm {cm^2}$

$S_{圆}=\pi AO^2=100\pi\ \mathrm {cm^2}，$

$\therefore S_{全}=S_{圆}+S_{底}=(400+100)\pi =500\pi (\ \mathrm {cm^2})$

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